TEMA OÄNDLIGHETEN [1]

ABSOLUT OÄNDLIGHET

Blotta tanken att man kan gradera och utsätta oändligheten för matematisk analys ansågs långt in på 1800-talet bland teologer i Europa för hädelse.

Mängdteorins grundare, Georg Cantor, löste detta i en essä från 1885 genom att skilja ut Absolut Oändlighet från det matematiska studiet av oändlighet. Absolut oändlighet tillhörde teologin, skrev han. Istället lyckades Cantor gradera andra, matematiskt "lovliga", oändligheter. Efter Cantor graderas oändliga mängders storhet med kardinaltal.

Oändligheter med det lägsta kardinaltalet, räknebara oändligheter - t ex alla ordningstal (1,2,3....o s v i oändlighet) - tilldelas graderingen Alef-noll. Alla element i sådana mängder räcker emellertid inte till för att stå i korrespondens med alla element i mängder graderade som Alef-ett.

På samma sätt visade Cantor att alla heltal och bråktal inte räckte till för att stå i korrespondens med alla punkter på en linje. Denna mängd, de reella talens mängd, antas enligt kontinuumhypotesen (ännu obevisad) vara just av kardinalitet Alef-ett.

En ännu högre kardinalitet har mängden punkter hos alla geometriska kurvor och figurer. De kan inte stå i korrespondens med punkter som finns i en figur med oändligheten alef-ett. Med hjälp av Cantors sats, som säger att varje mängd har fler delmängder än den har element, följer att det inte finns någon gräns för hur stora oändligheter vi kan bilda.

Men bortom alef-noll, alef-ett, alef-två, alef-tre..... o s v lurkar den ljusskygga Absoluta Oändligheten. Moderna oförvägna mängdteoretiker brukar skriva den med det grekiska tecknet för stort Omega, det grekiska alfabetets sista bokstav. De använder sig av ett trick för att försäkra sig om att Omega får förbli en oändlighet som inte kan fångas in med någon beskrivning, reflektionsprincipen. Denna princip säger att det inte finns någon karaktäristik som Omega är det första exemplet på (alef-ett kan ju t ex beskrivas som den första oräknebara oändligheten). För varje egenskap som tillhör Omega finns det en mindre delmängd till Omega som har denna egenskap. Varje tänkbar egenskap kan därför bara vara exempel på ett kardinaltal av lägre grad än Omega självt.

Hur många identiska kopior av dig (inklusive ditt "eget" universum) finns i multiversum? Svar: 2 upphöjt i Alef-noll (vilket antas vara detsamma som Alef-ett).

Det är emellertid inte säkert att antalet olika "vanliga" universa (inklusive olika uppenbarelser av dig) är oändligt. Nyare sträng/M-teoretiska idéer pekar på att antalet motsvarar det antal vakuumtillstånd utan supersymmetriska partiklar som teorin tillåter, vilket inte är ett kardinaltal men väl ett googleplex. En google är talet 10 upphöjt i 100. Ett goggleplex är 10 upphöjt i en google.

Tänk dig ett "tvärsnitt" av sträng/M-teorins modell av oändliga supersymmetriska vakuumtillstånd som en streckkod (den nedan råkar vara EAN-streckkoden för den nya upplagan av Draget från oändligheten).

Vi kan tänka oss att varje tomt band i steckkoden är ett av ett ändligt antal vakuumtillstånd som motsvarar ett universum utan supersymmetriska partiklar. De supersymmetriska partiklarna hamnar i de band som är fästa vid ett oändligt reellt antal punkter som kan ses som en vågrät linje över varje svart band. Det är också ett exempel på det faktum att en oändlig mängd som dessutom har en ändlig delmängd har samma kardinalitet, är lika stor, har samma antal element.

Matematikern David Hilbert har illustrerat detta med ett hotell med ett oändligt antal rum som är fullbelagt. Vad händer om det kommer en ny gäst? Jo, hotellmanagern ber alla nuvarande gäster att flytta till närmast högre numrerade rum bland alla de oändliga rumsnumren. Då blir rummet med det första numret ledigt!

[1] Referens:
Mind Tools av Rudy Rucker

Ett forskarteam som studerar samband med tumörer och DNA-förändringar i cellernas mitokondrier, som är skild från generna i cellkärnan, har upptäckt att mutationer i mitokondriernas gener har en korrelation med åldrandet som var helt oväntad.

Som jag beskriver i Tema Dawkins är en eukaryot cell så mycket mer än en innesluten cellkärna med kromosomer. Inom cellens yttre membran, i cellvätskan, finns komplicerade strukturer som kan betraktas som cellens egna inre organ, organeller, som oftast avgränsas med egna membran. De mest kända organellerna är kanske mitokondrier. Mitokondrier är bakterier som helt inrättat sig till ett liv inom en eukaryot cell. De har förlorat den mesta av sin ursprungliga genmassa, men inte allt. De förökar sig, genom delning, inuti den cell där de skaffat sin boning. De fungerar som cellernas "kraftverk". När delar av deras gener förloras genom mutationer förlorar de sin förmåga att ge modercellen energi.

I Tema Dawkins ställde jag frågan: "Är män en evolutionsskandal?" Det verkar vara ett evolutionistiskt slöseri att vi kastar bort hälften av våra välfungerande gener när vi slår ihop dem med partnerns gener. En hona som kan föra vidare 100 procent av sina gener riskerar bara att en mutation då och då försöker rucka på ett väl fungerande maskineri. I de fall hanen hjälper till med att föda upp avkomman, eller skyddda den, så kan honan kompensera sin genförlust genom att det blir möjligt att under hennes livstid föda upp fler kullar. Men detta är ett undantag i djurriket. De flesta arters hannar använder den tid de inte äter själva till att bråka med andra hannar. Är inte detta en skandal som evolutionen borde klara sig bättre utan!?

Varför evolutionen anpassat sig till oss män är faktiskt en vetenskapligt obesvarad fråga. En hypotes har varit att sexuell reproduktion hjälper evolutionen att göra sig av med skadliga mutationer. En artikel i senaste numret av Nature ger stöd för denna hypotes. För att priset för att ha oss män ska vara lönsamt ur evolutionsperspektiv måste de skadliga mutationerna inte bara vara tillräckligt ofta förekommande, de måste också förvärras progressivt ju fler de blir. Hur ofta förekommer sådan negativ feedback (epistasis) mellan gener? Artikeln ger det förvånande svaret att sexuell reproduktion genererar detta tillstånd och skapar alltså själv förutsättningarna för sin egen framgång. Män finns för att män finns!

Senaste Science rapporterar om att man för första gången lyckats observera protoners rörelser inom en molekyl. Vid kemiska reaktioner rör sig protonerna så fort att deras rörelser måste mätas i attosekunder (en attosekund är en miljarddels miljarddels sekund). Med ny laserteknik har man nu lyckats mäta protonernas rörelser med en felmarginal på 100 attosekunder. Det är som att mäta avståndet till Jupiters rörelser (630 miljoner kilometer bort) med en exakthet på ett hårstrå när!

Med denna enorma exakthet blir det möjligt att kontrollera molekylers kemiska reaktioner, inklusive de organiska molekylerna som styr livets kemi. Andra tillämpningsområden kan vara inom kvantdatortekniken och inom tillverkningen av nya nanomaterial.