Tema Penrose[1]

MÅNGFALD OCH SYMMETRI

I denna femte artikel i den pågående artikelserien om den nya boken av Roger Penrose återkommer jag till mångfalder och rotationer.

Först till rotationerna. Penrose frågar sig om man kan använda "triangelknepet" för att beskriva resultatet av olika rotationer. Triangelknepet går ut på att om man gör två raka förflyttningar som kan beskrivas som linjer som pekar åt olika håll, så är den sammansatta förflyttningen lika med den tredje linje som bildar en triangel med de två första. Förvånande nog, säger Penrose, kan man göra om knepet för rotationer. Man får då tänka sig att linjerna pekar runt en sfär. Linjernas längd representerar här rotationen som dubbla vinkeln.

Nu till mångfalderna. Mångfalder kan representera såväl förflyttningar som rotationer samtidigt. Om du tänker dig varje punkt på en kropp av något slag (t ex en bok) som punkter på en yta och sedan ritar upp hur alla dessa punkter kan förflytta sig, såväl när kroppen flyttar sig som helhet i alla tre dimensioner samt när den roterar kring dessa dimensioners axlar, så har du skapat en mångfald (i detta fall med sex dimensioner).

Mångfalder kan ha mer eller mindre komplicerad topologi, t ex innehålla "hål", även om det de representerar är skäligen enkelt, som i exemplet ovan. Mångfalder kan också representera mycket mer än en kropps konfiguration, definierat som dess "frihet" att förflytta sig och rotera. En särskild sorts mångfalder som även representerar en kropps momentum, definierat som produkten av dess massa och hastighet, kallas fasrum. Fasrum har oftast en faslig massa dimensioner.

Matematiker har hittat på verktyg som gör det möjligt att hantera mångfalder av de mest skiftande art och komplexitet. En typ av mångfalder är för övrigt sådana som byggs upp av punkter i det komplexa planet. Sådana mångfalder kan alternativt tolkas som reella mångfalder med komplex struktur.

En mångfald kan vara begåvad med olika sorts strukturer. Med moderna matematiska verktyg kan en motsvarighet till den enkla analysens tangentbegrepp användas på varje punkt i en mångfald. Tangenten är här en vektor, dvs en i punkten fästad riktad linje, i ett vektorrum som bibehåller en viss struktur vid transformationer (den kan också ha en inre struktur, likt en fiber). Dessa strukturer kan beskrivas med hjälp av matematiska symmetrier, eller transformationsgrupper. Ett berömt exempel är Einsteins relativitetsteori som modelleras med en 4-mångfald med en lokal struktur som benämns Lorentzgrupp.

Moderna fysiska teorier är helt beroende av att kunna ge mångfalder lokal struktur med hjälp av exakta symmetrier när de skapar modeller av verkligheten. Detta ger anledning till en existensiell fråga. Finns exakta symmetrier i verkligheten?

Ta en enkel symmetri, som den som utgör en perfekt sfär. Är det inte så att detta är en idealisering av naturliga klot, som även om de kan vara mer eller mindre perfekt sfäriska aldrig uppnår idealet?

Besvärliga frågor som denna har ofta med oändlighet att göra. Om vi börjar med ett naturligt, lite ofullständigt klot, och slipar på dess ojämnheter så kan man tänka sig att det vore möjligt att förvandla det till sitt exakt symmetriska ideal, genom att förbättra det lite i taget i oändlighet.

Matematiker och fysiker utgår däremot ofta från oändligheter i sina modeller, om än bara för att exakt kunna definiera ändliga mängder!

[1] Avsnitt under denna huvudrubrik är reflektioner kring det nya momumentala verket av Roger Penrose
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe

Forskare vid Kaliforniauniversitetet i Berkeley har nyligen uppdaterat forskningen om så kallad lågkaloridiet och dess förhållande till förväntad livslängd. Man har länge vetat att en diet som sänker kaloriintaget med sådär 50% förlänger livet hos allt från jäst till maskar, flugor och råttor. Den förväntade ökningen av livslängd kan vara upp till 70%.

Att äta vitamin- och mineralrikt samt motionera hjälper för att förlänga den livslängd som annars skulle ha förkortats till följd av sjukdom, men förlänger inte den förväntade maximala livslängden, vilket en lågkaloridiet gör. Den drar också ner på takten för cellförökning, en faktor som man tror ligger bakom den epidemiologiska ökningen av cancer bland västvärldens ständigt ätande befolkning. Att lågkaloridiet inte slagit igenom hos människor beror nog på att det inte verkar vara något liv att sträva efter att förlänga, om det ska ske på svältgränsen.

Det forskarna nu funnit, i experiment på möss, är att man kan nå samma effekt med ett måttligt förminskat kaloriintag (bara 5%-ig minskning) om man lägger in fastedagar några gånger varje vecka. Man tror att detta beror på att det är ett naturligt tillstånd hos rovdjur (som vi) att inte kunna fånga något byte och äta varje dag, men att man äter rikligt när föda är tillgänglig.

Bry er inte om råd som säger att man inte ska prata bebisspråk med småbarn. Ny forskning om spädbarns språkinlärning visar att spädbarn som tilltalas på bebisspråk snabbare lär sig ett korrekt språk än barn som man vinnlagt sig om att prata till på ett vuxet vis.

Att lära sig ett språk att kommunicera med är ett av de svåraste och mest nödvändiga inslagen i den inlärningsprocess som varje spädbarn måste genomgå. Det verkar därför rimligt att förklara de nya resultaten med att språkinlärningen behöver underlättas för att gå så smidigt som möjligt och att föräldrar därför är genetiskt betingade att prata med sina spädbarn på det sätt som gör uppgiften lättast att klara för dem.

För första gången har ett automobilt robotsystem använts för att med lyckat resultat hitta liv i ett för liv extremt ogästvänligt område, Atacamaöknen i Chile. Denna öken används som testområde för teknik som kan komma att användas vid kommande expeditioner till Mars.

Tekniken går ut på att fånga fluorescerande signaler från livsformer, alltifrån kolonier, biofilmer, ner till millimeterstora organismer. En uppsättning färgämnen lyser upp som lysrör när de förenar sig med proteiner, kolhydrater och andra molekyler typiska för livsformer.