Tema Penrose[1]

 

ENKEL MAGI ÄR HYPERKOMPLEX

 

 

 

I den nya boken av Roger Penrose ges de hyperkomplexa talen en pedagogiskt genial och enkel geometrisk tolkning med hjälp av en bok med ett platt band som bokmärke.

Hur förhåller sig hyperkomplexa tal till de komplexa talen?

De komplexa talen bildar ett tvådimensionellt plan med en reell talaxel och en imaginär talaxel. Under 1800-talet grunnade många matematiker på hur man skulle kunna utvidga begreppet till högre dimensioner. 1843 kom den irländske matematikern William Rowan Hamilton på en elegant lösning. Den bygger direkt på den ekvation som var upphovet till den imaginära talaxeln, nämligen

   i*i = -1

Hamiltons ekvation ser ut så här

   i*i = j*j = k*k = i*j*k = -1

Komplexa tal skrivs vanligen så här

   z = a + b*i

Det motsvarande hyperkomplexa talet, kallat quaternion byggs upp av summan av en reell talaxel och tre imaginära talaxlar på följande vis

   q = t + u*i + v*j + w*k

Multiplikation i det vanliga komplexa planet kan lätt åskådliggöras som en rotation, där du varje gång du multiplicerar med i får en motsolsrotation ett kvarts varv. Om du multiplicerar 1 med i och fortsätter att multiplicera resultatet tre gånger till med i kommer du åter till utgångspunkten, till 1.

Utan att här gå in på de matematiska detaljerna skall bara konstateras att rotation också kan användas för att åskådliggöra multiplikation vad gäller hyperkomplexa quaternioner. Det märkliga är bara att ett helt varvs rotation inte leder tillbaka till utgångspunkten, utan till sin motsats!

Ett matematiskt objekt som antar sitt negativa värde vid en fullständig rotation kallas en spinor. Om du och jag står ansikte mot ansikte och jag vrider mig ett halvt varv så ser du min baksida. Om jag vrider mig ett helt varv så ser du mitt ansikte igen. Om jag vore en spinor skulle du se min baksida om jag vred mig ett helt varv och mitt ansikte igen bara om jag vred mig två fullständiga varv.

Inom elementarpartikelfysiken har partiklarna en slags inre rotation som kallas spinn och som har just denna lustiga egenskap. Penrose visar med sitt bokexempel att man lätt kan föreställa sig denna egenskap även i mindre extrema sammanhang.

Tänk dig en bok ihopslagen med ett platt band inklämt mellan sidorna som ett bokmärke. Bandet sticker ut en bra bit och du lägger ett tungt bokstöd på dess ände, så att det ligger platt utan att vara vridet mellan boken och stödet. Boken ligger med sin framsida uppåt.

Du vrider nu boken ett helt varv, så att framsidan åter ligger uppåt men bandet mellan boken och stödet är vridet ett varv. Under förutsättning att du inte får röra stödet finns det nu inget sätt att få bort vridningen på bandet utan att återigen vrida på boken. Om du vrider boken ett helt varv i motsatt riktning så är bandet naturligtvis slätt igen. Det märkliga är att om du istället fortsätter att vrida boken ett varv till åt samma håll, så att bandet är vridet två gånger, så är det lätt att få bort bandets vridningar genom att slå det runt boken. Detta kan göras utan att boken behöver vridas ytterligare. Den som inte tror det bör pröva själv. Det är magiskt.