Tema Penrose[1]

KOPPLINGAR MED HYPERFUNKTION

I den nya boken av Roger Penrose framstår de komplexa talens magi som bäst i kopplingarna som med hjälp av dem kan göras mellan alla typer av funktioner som exempel på hyperfunktioner.

Denna matematiska klass, hyperfunktionerna, upptäcktes 1958 av den japanske matematikern Mikio Sato. Den ligger i sin tur till grund för hela det moderna funktionsbegreppet.

Vad är en matematisk funktion? I vardagligt tal brukar man prata om att något är en funktion av något annat. Vad menar man då? Kan t ex olika saker vara en funktion av ett och samma fenomen?

Flervärda funktioner är vanliga inom matematiken och har en elegant beskrivning i avbildningar på så kallade Riemannytor. Ett exempel på en Riemannyta är om man tänker sig det komplexa planet som en pappersfigur som man kan dra ut som en spiraltrappa, där olika värden finns på samma trappsteg fast i olika våningar så att säga.

Genom att koppla ihop förgreningar utifrån det komplexa planet på olika sätt kan man få mångdimensionella ytor utan sömmar, mångfalder (manifolds). Exempel på tvådimensionella mångfalder är planet, cylindern, sfären (ytan på ett klot) och torusen (ytan på en badring).

En speciellt viktig mångfald är Riemannsfären, som man kan tänka på som en sfär där "ekvatorn" består av enhetscirkeln i det komplexa planet, där du roterar från 1 till i till -1 och via -i tillbaka till 1.

Alla Riemannmångfalder utan "hål" (en badring har ett hål) kan genom en matematisk procedur kallad, conformal mapping, visas vara "identiska" med Riemannsfären. Riemann visade att på liknande sätt kan alla figurer, oavsett form, omslutna av en obruten linje på det komplexa planet "mappas" på ovannämda enhetscirkel.

Det som gör det senare viktigt är att alla periodiska mönster, inte bara mjuka vågmönster, kan hanteras som rotationer. Det gäller faktiskt också själva tiden som vi annars inte brukar anse vara cyklisk.

Inom kvantmekaniken kan frekvenser vara både positiva och negativa. Det går utmärkt att föreställa sig som en rotation genom enhetscirkeln där utgångsvärdet är tid noll som via rotation motsols eller medsols efter ett kvarts varv når tid ett respektive tid minus ett. Efter ytterligare ett kvarts varv nås tidpunkten plus minus oändligheten. Eftersom tidpunkterna ligger på cirkeln kan man rotera vidare till tid plus minus ett och därefter vidare till tid noll, dvs nu, igen.

När fysiker studerar signaler är en Fourieranalys (Fouriertransform) oftast oundgänglig. Denna typ av analys gör det möjligt att studera även icke-periodiska signaler som gränsfall till periodiska. Penrose visar hur man kan bryta frekvenser i olika serier som ligger på "insidan" eller "utsidan" av enhetscirkeln och att när dessa summeras uppstår vad som kan uppfattas som "hopp" i signalen.

Med begreppet hyperfunktion kan visas att alla dessa funktioner på "insidan" och "utsidan" är ekvivalenta med en utökad funktion där "hoppet" (skillnaden) är en del av helheten. Det får mig att dra mig till minnes en informell definition av rörelse jag läst på en av nätets fysiksajter en gång: Rörelsen är skillnaden mellan helheten och delarna.

[1] Avsnitt under denna huvudrubrik är reflektioner kring det nya momumentala verket av Roger Penrose
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe

En rapport från University of Rochester Medical Center varnar för att dricka grapefruktjuice ihop med viss medicinering. Orsaken är att den metabolism i levern som bryter ner ett antal kända mediciner använder samma enzym för att bryta ner grapefruktjuicen.

Det rör sig om ett 50 tal mediciner som används för att behandla höga kolesterolvärden, depressioner, högt blodtryck, cancer, smärta, impotens och allergier. Om nedbrytningen av dessa mediciner blockeras av grapefruktjuicen kan konsekvenserna i vissa fall bli ödesdigra.

Den gamla sanningen att man inte kan lära gamla hundar nya saker ifrågasätts nu i en tvåårsstudie på just gamla hundar, av rasen beagle, som gjorts vid Torontouniversitetet. Att hundar lämpar sig bra att studera för kognitionsforskare beror på att de får åldersrelaterade neurologiska besvär som i likhet med människan påverkar inlärning och minne.

I studien kunde man konstatera att förstärkt diet med frukter, grönsaker och vitaminer i kombination med regelbunden motion och lek med andra hundar och med en rad stimulerande leksaker gjorde att hundarna klarade kognitiva tester bättre och var mer angelägna att lära sig nya saker.

Ett team vid Cornelluniversitetet har lyckats framställa plast av koldioxid och citrusolja från vanliga apelsinskal. Plasten är av hög kvalitet med polystyrenliknande egenskaper.

Nästan alla plastprodukter som finns idag, från polyester i kläder till plastfolie, tillverkas med hjälp av bergolja. Om samma produkter istället kan tillverkas med förnyelsebara och lättillgängliga råmaterial är det naturligtvis mycket intressant, inte minst miljömässsigt.