Tema Penrose[1]

 

IMAGINÄRA SAKER

 

 

 

Att läsa och kommentera den nya boken av Roger Penrose är som en tidig julklapp.

Penrose skriver mycket om de komplexa talens magi. De reella talen behövde man för att beskriva alla längder, eftersom vissa längder inte kunde beskrivas med hjälp av hela tal eller relationer mellan hela tal (bråktal). Historiskt upptäckte man detta ihop med den rätvinkliga enhetstriangeln. Men det är lättare, tycker jag, att tänka sig det hela i tidstermer. Om du tänker dig en oerhört liten tidsutdräkt framåt i tiden och en lika liten bakåt, måste du ändå ha plats att sticka in ett nu däremellan. För att det inte ska uppstå några gap i tidsföljden krävs tal med oändliga decimalserier. Men varför krävs komplexa tal?

Komplexa tal är kombinationen av reella tal och imaginära tal. Tänk igen på tidslinjen. Det är naturligt att tala om att saker ligger ytterligare en bit fram i tiden eller bakåt i tiden. Om vi backar längre än vi går framåt hamnar vi på minustid. De reella talen uppkom när man behövde definiera vilka längder som multiplicerade med sig själva blev exakt två steg fram (roten ur 2). Det är kanske inte så konstigt att man också behövde veta vilka längder som multiplicerade med sig själva blev exakt ett minussteg bakåt (roten ur -1).

Något sådant tal fanns emellertid inte på hela den reella tallinjen, så man var tvungen att hitta på en ny slags tallinje. På den nya imaginära tallinjen är varje reellt tal multiplicerat med ett enhetsvärde som man beskriver med bokstaven i. Detta i är definitionsmässigt det som multiplicerat med sig själv blir minus ett (-1). Det är inte ett så stort steg. På hela den vanliga reella tallinjen kan man ju se det som att alla tal är multiplicerade med det som multiplicerat med sig själv blir ett (1), d v s 1.

Den nya imaginära tallinjen ligger alltid rätvinkligt mot den reella tallinjen, vilket ger en grafiskt övertygande bild av multiplikation med den nya enheten i. Tänk dig den del av den reella tallinjen som går mellan minus ett och plus ett. Den imaginära tallinjen korsar då denna mitt i (vid 0) så att delen mellan i och minus i blir en lika lång diameter i en enhetscirkel. Multiplikation med i är då detsamma som att rotera ett kvarts steg (en rät vinkel) motsols. Multiplicerar du 1 med i får du i. Multiplicerar du i med i hamnar du ytterligare ett kvarts varv bakåt, d v s på -1. Om man fortsätter runt blir -1 multiplicerat med i -i och, slutligen, multipliceras -i med i hamnar man återigen på 1.

Man skulle kunna säga att vad som saknades i den reella beskrivningen av tidslinjen var att man måste kunde vrida på sig för att se bakåt i tiden!

Det som öppnas upp är emellertid då också det magiska komplexa planet. Ett komplext tal beskrivs nämligen som summan av koordinaterna på den reella och den imaginära axeln.

I detta magiska plan kan många matematiska finurligheter åstadkommas. De överallt inom fysiken använda analytiska funktionerna, som man kan beräkna derivatan och integralen på och rita upp i reella plan (plan med reella talaxlar) får en motsvarighet i det komplexa planet i form av oändligt många cirklar i oändligt olika storlek som täcker en yta.

Vad betyder allt detta? Är imaginära enheter och komplexa plan verkliga? Framför allt är de väldigt användbara. Logaritmer och deras användning i olika tekniska sammanhang bygger på insikter från addition och multiplikation i det komplexa planet (ett bra exempel är den gamla räknestickan). Penrose visar också att kvarkar (naturens yttersta byggstenar) kan modelleras utifrån en rotation mellan tre tal i det komplexa planet.

De komplexa talens magiskt vidsträckta användningsområden, alltifrån räknesticka till kvarkar, beror naturligtvis inte på något annat än att de är påhittade som uttryck för samband som kan uppkomma mellan olika minnesspår i våra enorma hjärnor. De behöver inte fyllas med något speciellt innehåll och är därför användbara till allt möjligt. Jag har skrivit om matematiken som uttryck för vad som bör kunna finnas i de mest flyktiga kopplingarna i vår hjärna i min nyligen utkomna bok Mångfaldens mönster.

Med den pluggen skickar jag alla läsare hjärtliga helghälsningar. Jag hoppas vi återses efter helgerna.